Visa källa för Faktablad/Komplex multiplikation med reella tal

{{Faktablad}}

== Komplex multiplikation med reella tal ==
En multiplikation med komplexa tal är detsamma som en vektorrotation i två dimensioner. Därför kan man betrakta det som en operation på en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Antag att du har det komplexa talet ''z'', det består av en realdel, Re ''z'' = ''x'', och en imaginärdel, Im ''z'' = ''y'' :

:<math> \ {z = [x, y]}</math>

Nu vill vi multiplicera ''z'' med ett annat komplext tal, ''c'', och då skapa det nya komplexa talet ''z´''. Det uttrycks med komplexa tal på samma sätt som all annan multiplikation:

:<math> \ {z' = zc}</math>

Men det är inte till mycket hjälp om du vill göra beräkningen för hand med papper och penna. Vad som då måste göras är att bryta ned det komplexa talet ''z'' till de två rella talen ''x'' och ''y'', och talet ''c'' till ''a'' och ''b''. Nästa steg är att först beräkna den nya realdelen ''x´'' och efter det den nya imaginärdelen ''y´''. För att göra det brukas en formel i två led:

:<math> \ {x' = xa - yb}</math>
:<math> \ {y' = xb + ya}</math>

Resultaten ''x´'' och ''y´'' bildar sedan real- och imaginärdelarna i det nya komplexa talet ''z´'':

:<math> \ {z' = [x', y']}</math>

Vid kvadrering av komplexa tal, <math> \ {z \cdot z}</math>, kan formeln ovan med algebraiska metoder förenklas något:

:<math> \ {z' = z^2}</math>
:<math> \ {x' = x^2- y^2}</math>
:<math> \ {y' = 2xy}</math>












==Ett exempel:==
{| border="1" align="right" width="256px"|
|[[Bild:Komplex multiplikation.gif|256px]]
|}
:<math> \ {x = 1,2}</math>
:<math> \ {y = 1,9}</math>
:<math> \ {a = -1,7}</math>
:<math> \ {b = 1,2}</math>
:<math> \ {x' = -4,32}</math>
:<math> \ {y' = -1,79}</math>

===Övningar:===

:'''1''', Beräkna:
::[ 1.0, 0.0 ] · [ 0.0, 1.0 ]

:'''2''', Beräkna:
::[ 3.0, 4.0 ] · [ 12.0, 16.0 ]

==Absolutbeloppet==
Ett komplext tals absolutbelopp motsvaras av längden på pilarna i bilden ovan. Absolutbeloppet noteras med en vertikal linje på var sida om variabeln:

:<math> \ |z|</math>

För att beräkna absolutbeloppet så dras roten ur summan av real och imginärdelarnas kvadrater:

:<math> \ |z| = \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Övningar:===

:'''3''', Beräkna:
::Absolutbeloppen för <math>z</math>, <math>c</math> och <math>z</math>´ i dom två räkneexemplen ovan.

:'''4''', Beräkna:
::Absolutbeloppen för <math>z</math>, <math>c</math> och <math>z</math>´ i bildexemplet ovan och avrunda till tre decimaler.


[[/Facit/]]