Formelsamling/Matematik/Differentialkalkyl

Åter till huvudsidan.

Derivator

Definition Bildl. representation av derivata Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten x. Om gränsvärdet $\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{f(x+ϵ)-f(x)}{ϵ}$ existerar, sägs funktionen f(x) vara deriverbar i x. Gränsvärdet kallas derivatan av f i punkten x, och betecknas $f^{\prime }(x)$, eller $\frac{df}{dx}$. Definitionen kan ses som den tangentiella lutningen för en kurva f(x) mellan två punkter x och x + ε. När ε går mot noll fås lutningen för kurvan i punkten x.

Differentialekvationer

Linjära ekvationer av andra ordningen

$y^{″}+a(x)y^{\prime }+b(x)y=h(x)$

där $a(x)$, $b(x)$ och $h(x)$ är kontinuerliga funktioner.

Homogena ekvationen

För en ekvation av typen

$y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

görs ansatsen $y=C{e}^{rx}$ som ger

$C{e}^{rx}(r^2+ar+b)=0$

som har det karaktäristiska polynomet $p(r)=r^2+ar+b$ vars nollställen (dvs. $r$ när $p(r)=0$) kan ge lösningar.

1. Två reella rötter, om $r_1\ne r_2$

   $y_h=A{e}^{r_{1}x}+B{e}^{r_{2}x}$

2. Dubbelrot, alltså om $r_1=r_2=r$

   $y_h=(Ax+B)e^{rx}$

3. Komplexa rötter, om $r=\alpha \pm i\beta$

   $y_h=e^{\alpha x}(C_1{e}^{i\beta x}+C_2{e}^{-i\beta x})=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$

Partikulärlösning

För en allmän inhomogen ekvation

$y^{″}+a{y}^{\prime }+by=h(x)$

så räcker det att hitta en lösning.

Om $h(x)$ är konstant

Genom direkt insättning i $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=c$ ser vi att

• Om $b\ne 0$ är $y_p=\frac{c}{b}$ en lösning;
• Om $b=0$ och $a\ne 0$ är $y_p=\frac{c}{a}x$ en lösning;
• Om $b=a=0$ är $y_p=\frac{c}{2}{x}^2$ en lösning;

Om $h(x)$ är en polynom

• Om $b\ne 0$: sätt $y=q(x)$ där grad $q$ $=$grad $h$
• Om $b=0$, $a\ne 0$: sätt $y=xq(x)$ där grad $q$ $=$grad $h$

Allmänna lösningen

Fås genom att:

$y=y_h+y_p$