Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Derivata

Derivata

Definition och typisk tillämpning

Derivata är definitionsmässigt förändringstakt. Exempelvis kallas en förändring i hastighet acceleration, och om man känner till en funktion som ger ett objekts hastighet som funktion av tiden kan man få en funktion som ger objektets acceleration som funktion av tiden genom att derivera hastighetsfunktionen med avseende på tiden.

Den kanske vanligaste tillämpningen av derivata är att räkna ut för vilket värde en funktion når sitt maximum. Derivatan av en funktion kan sägas beskriva kurvans lutning, och på samma sätt som ett berg sluttar uppför mot toppen och nedför efter toppen men är i princip platt precis på toppen har många funktioner positiv derivata för värden omedelbart "innan" sitt maximum och negativ derivata omedelbart efter maximum men derivatan noll precis på toppen. Genom att derivera funktionen och räkna ut för vilka värden den har värdet noll kan man då se vilka punkter som är tänkbara maxima.

För vissa funktioner har derivatan värdet noll även i andra punkter än maximum, så man bör verifiera att det man hittat faktiskt är maximum. För att kunna använda denna metod måste funktionen och dess derivata vara kontinuerliga (det vill säga att kurvan saknar skarpa "stup" eller vassa hörn), eller så måste man skilt kontrollera diskontinuitetspunkterna.

Definition

Derivata brukar definieras som

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,

alternativt $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

och kan även beräknas med $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

Där $\underset{h\to 0}{\lim }$ är funktionens gränsvärde i punkten 0. Gränsvärdet i 0 får man helt enkelt när man låter h krypa så nära noll utan att h antar det värdet.

Exempel

$f(x)=x^2;f^{\prime }(4)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(4+h{)}^2-16}{h}$ $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(16+8h+h^2)-16}{h}$ $=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(8h+h^2)}{h}=$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(h(8+h))}{h}$$=8$

Andra beteckningar

Det finns, något förvirrande, flera sätt att beteckna derivatan för en funktion på. Om $y=f(x)$ är en funktion är alla de följande ganska vanliga sätt att skriva derivatan på:

$f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}=Df(x)$

De betyder alla samma sak, men dyker upp i olika tillämpningar.

I fysik är det vanligt att man uttrycker saker (t.ex. position) som funktioner av tiden $t$. Om t.ex. positionen på en linje, $x$ är en funktion av tiden $t$ skriver man det som $x(t)$. Då brukar derivatan betecknas $\dot{x}(t)$.

Deriveringsregler

$f(x)=k{x}^n$

$f^{\prime }(x)=nk{x}^{n-1}$

Tips:

tal utan x-term tas bort

om x saknar exponent (exponenten 1) försvinner x

$f(x)=2x^1$

$f^{\prime }(x)=1*2x^{1-1}$

$f^{\prime }(x)=1*2x^0$

$f^{\prime }(x)=1*2*1$

$f^{\prime }(x)=2$

Exempel:

$f(x)=2x^3-2x+5$

$f^{\prime }(x)=3*2x^2-2x^1+5$

$f^{\prime }(x)=6x^2-2$

Linjära funktioner

En linjär funktion definieras av en ekvation av typen:
$f(x)=ax+b$ eller $y=kx+m$
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje

$k$ -värdet(riktningskoefficenten) för en linje som passerar punkterna $(x1,y1)$ och $(x2,y2)$ får man med hjälp av formeln:
$k=$ändring i $y$ / ändring i $x$
eller med symbolen för förändring - Δ:
$k=$Δ$y$ / Δ$x$

Den räta linjens ekvation kan skrivas i flera olika former:

Den räta linjens ekvation
k-form	$y=kx+m$	Linje med lutningen k genom punkten $(0,m)$
Enpunktsform	$y-y1=k(x-x1)$	Linje med lutningen k genom punkten $(x1,y1)$
Allmän form	$ax+by+c=0$	Alla linjer och bara linjer har en ekvation av denna form
Specialfall
Vertikal linje	$x=a$	Parallell med $y$ -axeln
Horisontell linje	$y=b$	Parallell med $x$ -axeln

$x$-variabeln är den oberoende och $y$ den beroende. $y$ får sitt värde, beroende på vad $x$ har för värde. När man ritar ut en graf, låter $x$-linjen successivt öka som en tallinje. Därefter prickar man ut alla $y$ värden (som då är höjden).

Polynomfunktioner

Monom (enkla polynom)

Ett monom [1], dvs ett polynom med bara en term i, ser ut som $a{x}^k$, där $a$ är en godtycklig konstant (monomets koefficient), och $k$ ett (positivt) heltal. Talet $k$ kallas monomets gradtal. Självklart är även $k$ exponenten för variabeln $x$.

Exempelvis är $x$, $3x^2$, $\pi x^3$ och $12x^{954}$ monom, men inte $x+5$ (eftersom $x+5$ innehåller mer än en term).

För att derivera ett monom "flyttar man ner" exponenten och multiplicerar med koefficienten, och sänker monomets gradtal med ett, dvs:

$\frac{d}{dx}a{x}^k=ka{x}^{k-1}$.

Allmänna polynom

Om $f(x)$ är ett allmänt polynom av grad $n$ kan det skrivas som summan av flera monom:

$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$

Där åtminstone någon av $a_i\ne 0$.

Att derivera detta är precis som ovan bara att sänka gradtalet på variablerna, och multiplicera med exponenten, dvs:

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=\sum _{i=0}^{n-1}i{a}_i{x}^{i-1}$.

Detta kan se klurigt ut, men det följer ganska lätt av derivatans linjäritet, dvs att när man deriverar en summa flyttar man in derivatan på de individuella termerna. Det blir kanske lättare att se om vi utvecklar summan:

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=\frac{d}{dx}{a}_0+\frac{d}{dx}{a}_{1}x+\frac{d}{dx}{a}_2{x}^2+\dots +\frac{d}{dx}{a}_n{x}^n=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+...+n{a}_n{x}^{n-1}$.

Exempel

• $y=5x,\frac{dy}{dx}=5$
• $y=12x^2,\frac{dy}{dx}=2\cdot 12x=24x$
• $y=5+8x^3,\frac{dy}{dx}=3\cdot 8x^2=24x^2$
• $y=5+2x+3x^2+9x^3,\frac{dy}{dx}=2+6x+27x^2$

Andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs i allmän form:
$x^2+px+q=0$
och kan sedan lösas med formeln:
$x=-p/2\pm \sqrt{(p/2{)}^2-q}$

Exempel:
$2x^2-20x+22=4$ kan man lösa såhär:
För att få ekvationen i allmän form subtrahera med 4 på bägge sidor om = tecknet för att få HL (högra ledet) till 0 och dela alltihop med 2 för att få $2x^2$ till $x^2$:

$\frac{2x^2-20x+22-4=4-4}{2}=\frac{2x^2-20x+18=0}{2}=x^2-10x+9=0$ (allmän form)

För att lösa ekvationen sätter du in värdena i formeln

$x=-p/2\pm \sqrt{(p/2{)}^2-q}$
vilket ger:

$x=-(-10)/2\pm \sqrt{((-10)/2{)}^2-9}$
Förenkla:
$x=10/2\pm \sqrt{-5^2-(9)}$
$x=5\pm \sqrt{25-9}$
$x=5\pm \sqrt{16}$
$x=5\pm 4$

D.v.s. Hälften av p är -5, med ombytt tecken är 5, ± roten ur, hälften av p=-5 i kvadrat=25 minus q=9

$x1=5+4$ och $x2=5-4$ vilket ger $x1=9$ och $x2=1$

Derivata exempel

Från en pappskiva med måtten 20 cm x 30 cm klipper man i hörnen bort kvadrater med sidan x cm. Hur stor blir volymen, om man viker upp sidorna till en öppen låda?

Volymen V cm³ får vi med tredjegradspolynomet V = x(20-2x)(30-2x) eller förenklat V = 4x³ - 100x² + 600x

Vilket mått ska x ha för att få största möjliga volym?

Derivera 4x³ - 100x² + 600x

12x² - 200x + 600

allmän form: $x^2+px+q=0$

x² - 200x/12 + 50 = 0

Lös med formeln:
$x=-p/2\pm \sqrt{(p/2{)}^2-q}$