Faktablad/Komplex multiplikation med reella tal

Komplex multiplikation med reella tal

En multiplikation med komplexa tal är detsamma som en vektorrotation i två dimensioner. Därför kan man betrakta det som en operation på en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Antag att du har det komplexa talet z, det består av en realdel, Re z = x, och en imaginärdel, Im z = y :

$z=[x,y]$

Nu vill vi multiplicera z med ett annat komplext tal, c, och då skapa det nya komplexa talet z´. Det uttrycks med komplexa tal på samma sätt som all annan multiplikation:

$z^{\prime }=zc$

Men det är inte till mycket hjälp om du vill göra beräkningen för hand med papper och penna. Vad som då måste göras är att bryta ned det komplexa talet z till de två rella talen x och y, och talet c till a och b. Nästa steg är att först beräkna den nya realdelen x´ och efter det den nya imaginärdelen y´. För att göra det brukas en formel i två led:

$x^{\prime }=xa-yb$

$y^{\prime }=xb+ya$

Resultaten x´ och y´ bildar sedan real- och imaginärdelarna i det nya komplexa talet z´:

$z^{\prime }=[x^{\prime },y^{\prime }]$

Vid kvadrering av komplexa tal, $z\cdot z$, kan formeln ovan med algebraiska metoder förenklas något:

$z^{\prime }=z^2$

$x^{\prime }=x^2-y^2$

$y^{\prime }=2xy$

Ett exempel:

Fil:Komplex multiplikation.gif

$x=1,2$

$y=1,9$

$a=-1,7$

$b=1,2$

$x^{\prime }=-4,32$

$y^{\prime }=-1,79$

Övningar:

1, Beräkna:

[ 1.0, 0.0 ] · [ 0.0, 1.0 ]

2, Beräkna:

[ 3.0, 4.0 ] · [ 12.0, 16.0 ]

Absolutbeloppet

Ett komplext tals absolutbelopp motsvaras av längden på pilarna i bilden ovan. Absolutbeloppet noteras med en vertikal linje på var sida om variabeln:

$|z|$

För att beräkna absolutbeloppet så dras roten ur summan av real och imginärdelarnas kvadrater:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Övningar:

3, Beräkna:

Absolutbeloppen för $z$, $c$ och $z$´ i dom två räkneexemplen ovan.

4, Beräkna:

Absolutbeloppen för $z$, $c$ och $z$´ i bildexemplet ovan och avrunda till tre decimaler.

/Facit/