Formelsamling/Matematik/Serier och summor

Åter till huvudsidan.

Definitioner

Summa

En summa är en summering av ändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_m+a_{m+1}+...+a_n=\sum _{k=m}^n{a}_k$,

där m och n är heltal och n är större eller lika med m. Speciellt är

$a_1+a_2+...+a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$

Serie

En serie är en summering av oändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_1+a_2+...=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

Positiv serie

En serie är positiv om alla element är större eller lika med noll

$a_i\ge 0,i=1,2,3\dots$

Negativ serie

En serie är negativ om alla element är mindre eller lika med noll

$a_i\le 0,i=1,2,3\dots$

Alternerande serie

En serie är alternerande om varje två på varandra följande tal har olika tecken

$a_i\cdot a_{i+1}<0,i=1,2,3\dots$

Observera att denna definition kräver att varje element inte är lika med noll: $a_i=0,i=1,2,3\dots$

Talföljder

Aritmetisk talföljd

$a_n=a_1+(n-1)d$

$s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Geometrisk talföljd

$a_n=a_1{k}^{n-1}$

$s_n=\frac{a_1(k^n-1)}{k-1}$

MacLaurins formel

$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n$

Taylorserie

$f(a+h)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}h+\frac{f^{″}(a)}{2!}{h}^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}{h}^n+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Taylorutvecklingar

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=k$

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+...$

Binomialsatsen

$(1+x{)}^p=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{2})x^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{3})x^3+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})x^n$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})=\frac{p(p-1)(p-2)\dots (p-n+1)}{n!}$

Ränteberäkningar

$k_0$	insatt belopp
$k_n$	värde efter period
$t$	period (månad, år eller dag)
$p$	ränta per period i procent

Sammansatt ränta

$k_n=k_0{(1+\frac{p}{100})}^t$

Årlig insättning med ränta på ränta

$k_n=k_0\frac{{(1+\frac{p}{100})}^t-1}{\frac{p}{100}}$

Annuitet

$k_n=k_0\frac{{(1+\frac{p}{100})}^t\cdot \frac{p}{100}}{{(1+\frac{p}{100})}^t-1}$

Nuvärde (diskontering)

$k_0=k_n\frac{1}{{(1+\frac{p}{100})}^t}$

Summan av nuvärden

$k_n=k_0\frac{{(1+\frac{p}{100})}^t-1}{{(1+\frac{p}{100})}^t\cdot \frac{p}{100}}$