Fourieranalys

Definition: $E$ är det linjära rummet av styckvis kontinuerliga funktioner definierade på $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ med värden i $ℂ$.

Definition (Skalärprodukt i $E$): $f,g\in E\Rightarrow ⟨f,g⟩:=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(t)g(t)dt$.

Sats: $\{\frac{1}{\sqrt{2}},\sin (x),\cos (x),\sin (2x),\cos (2x),\dots \}$ bildar en ortonormerad bas i $E$. Bevis:

• $⟨\sin (mx),\cos (nx)⟩=\dots =0$
• $⟨\sin (mx),\sin (nx)⟩=\dots =\{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\ 0\Leftarrow m\ne n\end{array}$
• $⟨\cos (mx),\cos (nx)⟩=\dots =\{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\ 0\Leftarrow m\ne n\end{array}$
• $⟨\frac{1}{\sqrt{2}},\sin (mx)⟩=\dots =0$
• $⟨\frac{1}{\sqrt{2}},\cos (mx)⟩=\dots =0$
• $⟨\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}⟩=\dots =1$.

slut av bevis.

Den ortogonala projektionen $f_{\parallel }$ av $f\in E$ på det ortonormerade systemet ovan är

$f_{\parallel }=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\cos (kx)+b_k\sin (kx)$, där

$a_k=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(t)\cos (kt)dt$

$b_k=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f(t)\sin (kt)dt$.

$f_{\parallel }$ kallas fourierserieutvecklingen av $f$.