Matematik/Matematik C/Talföljder och summor

Talföljder och summor

Geometrisk summa

Sätt $S=1+p+p^2+\dots +p^k$. Antag att $p\ne 1$. Det gäller att $S-pS=1-p^{k+1}\Rightarrow S=\frac{p^k-1}{p-1}$. Om p = 1: $S=\underset{k+1}{\underbrace{1+1+1+\dots 1}}=k+1$.

Teleskoperande summa

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{k^2-1}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1})=(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

Notera att om $f(x+y)=f(x)+f(y)$, så gäller $\sum _2^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{2}{k^2-1}\right)=f(3/2)$.