Linjär algebra

Geometriska vektorer

Riktade sträckor

En riktad sträcka mellan A och B

Betrakta två punkter i planet, $A$ och $B$. Vi kan beteckna sträckan mellan $A$ och $B$ med $\overline{AB}$. Vi kallar detta för en riktad sträcka och skiljer på sträckorna $\overline{AB}$ och $\overline{BA}$. Speciellt kallar vi origo för $O$.

En riktad sträcka har en startpunkt och en slutpunkt. Vi kan utifrån detta även tilldela den riktade sträckan en storlek (hur lång är sträckan?) och en riktning (åt vilket håll går sträckan?). Man kan tänka sig den riktade sträckan $\overline{AB}$ som en pil som sitter fast i en punkt ($A$) och pekar på en annan punkt ($B$).

Vektorer

Vi definiererar nu en vektor som mängden av alla riktade sträckor som har samma storlek och riktning, dvs, vi bryr oss inte var en vektor börjar eller slutar, sålänge den har en viss längd och riktning. Vi definiererar nollvektorn som vektorn med storlek noll.

Vektorer är vanliga inom fysiken, exempelvis brukar krafter beskrivas som vektorer. De har en viss riktning (in mot jorden för gravitationskraften, framåt i vägens riktning för en bil, osv) och en viss storlek (antalet Newton som kraften verkar med).

Man brukar beteckna en vektor med en gemen bokstav i fetstil eller med ett streck eller en pil över: $𝐯,\bar{v},\overrightarrow{v}$. Ibland betecknar man också en vektor med den tidigare beteckningen för en riktad sträcka: $\overline{AB}$, men med detta menas inte egentligen en vektor utan en representant för vektorn (en riktad sträcka med angiven storlek och riktning).

Längden eller absolutbeloppet (ibland bara beloppet) av en vektor $𝐮$ brukar skrivas $|𝐮|$. Oftast skrivs dock beloppet utan fetstil för att förenkla, till exempel $|𝐮|=u$

Beroende på användningsområde så kan en vektor vara tvådimensionell, tredimensionell eller ha i princip hur många dimensioner som helst. Från fyra dimensioner och uppåt blir det dock svårt att föreställa sig en geometrisk tolkning, men räknereglerna fungerar precis som för andra vektorer. En endimensionell vektor skiljer sig i princip inte från vanliga tal.

Multiplikation med skalär

Med en skalär menas ett vanligt, reellt tal, t.ex. $1,3,5,\frac{7}{11},\sqrt{2}$ och $\pi$.

Vi kan multiplicera en vektor med en skalär. Detta får följd att vektorns längd ändras, så att:

$|\lambda 𝐮|=|\lambda ||𝐮|$

för en skalär $\lambda$. Vektorn kan också byta riktning:

$\lambda >0:\lambda 𝐮$ har samma riktning som $𝐮$.

$\lambda <0:\lambda 𝐮$ har motsatt riktning som $𝐮$.

Parallella vektorer

Vi säger att två vektorer $𝐮,𝐯$ är parallella om det finns en skalär $\lambda$ så att $\lambda 𝐮=𝐯$, dvs om $𝐮,𝐯$ har samma riktning, eller precis motsatt riktning. Om två vektorer är parallella, men har motsatt riktning, kallas de ibland antiparallella.

Vektoraddition

Addition av vektorer

Vektoraddition för geometriska vektorer kan beskrivas som att två vektorer läggs efter varandra, som i bilden till höger. Alternativt ritar man upp ett parallellogram och beskriver summan som diagonalen i parallellogrammet.

Räkneregler

1	$𝐮+𝐯=𝐯+𝐮$	kommutativitet över vektoraddition
2	$(𝐮+𝐯)+𝐰=𝐮+(𝐯+𝐰)$	associativitet över vektoraddition
3	$𝐮+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}+𝐮=𝐮$	identitetselement vid vektoraddition
4	$𝑘(𝐮+𝐯)=𝑘𝐮+𝑘𝐯$	distributivitet
5	$(𝑘+𝑚)𝐮=𝑘𝐮+𝑚𝐮$	distributivitet
6	$𝑘(𝑚𝐮)=(𝑘𝑚)𝐮$	associativitet över skalärmultiplikation
7	$1𝐮=𝐮$	identitetselement över skalärmultiplikation

Subtraktion av vektorer

Subtraktion mellan vektorer

Den grafiska tolkningen av subtraktion mellan vektorer illustreras av bilden till höger. Genom att låta vektor $𝐚$ och vektor $𝐛$ utgå från samma punkt bildas differensen $𝐚-𝐛$ genom att rita en vektor mellan spetsarna i riktning från den sista till den första.

Räkneregel

$𝐚-𝐛=𝐚+(-𝐛)$

Denna räkneregel ska tolkas som att man låter den andra vektorn $𝐛$ ersättas av sin invers $(-𝐛)$, som är lika lång men riktad åt motsatt håll. Sedan genomför man addition mellan dessa termer.

Baser för geometriska vektorer

För att det ska vara lättare att räkna med geometriska vektorer, presentera man dem som par eller tripplar av reella tal. För att möjliggöra detta konstruerar man en bas för rummet.

Baser i planet

Vektor ${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}$ med basen ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$

Definition: Två vektorer ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ som inte är paralella bildar en bas i planet

Det finns alltså inget krav på att baserna skall vara av en viss längd eller ha en viss vinkel mot varandra, bara att de inte är parallella. De skall samtidigt inte vara lika med nollvektorn: $\mathrm{𝟎}$ Detta faller sig naturligt när man betraktar nollvektorn som parallell med alla vektorer.

Låt ${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}$ vara en godtycklig vektor. Placera ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ och ${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}$ så att de börjar i samma punkt. Drag linjer genom v:s ändpunkter parallella med ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ och låt ${𝐮}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐮}_{\mathrm{𝟐}}$ vara sidorna i den parallellogram som bildas.

Då är ${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}={𝐮}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐮}_{\mathrm{𝟐}}$. Eftersom ${𝐮}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐮}_{\mathrm{𝟐}}$ är parallella med ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ respektive ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ finns det tal $𝑥$ och $𝑦$ så att ${𝐮}_{\mathrm{𝟏}}=𝑥{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐮}_{\mathrm{𝟐}}=𝑦{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$. Alltså är ${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}=𝑥{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+𝑦{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$.

Sats

Om ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och' ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ är en bas i planet så kan varje vektor $𝐯$ entydigt skrivas:

$𝐯=𝑥{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+𝑦{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$

För att visa entydigheten antar man att: $𝐯=𝑥{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+𝑦{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}={𝑥}^{\prime }{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+{𝑦}^{\prime }{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$. Vi måste visa att $𝑥={𝑥}^{\prime }$ och $𝑦={𝑦}^{\prime }$. Men om $𝑥={𝑥}^{\prime }$ så är ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}=-\frac{𝑦-{𝑦}^{\prime }}{𝑥-{𝑥}^{\prime }}{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$, dvs ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ är parallella. Men detta är en motsägelse då ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ utgör en bas. Varför $𝑥={𝑥}^{\prime }$ och $𝑦={𝑦}^{\prime }$.

Om basvektorerna ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ är vinkelräta (ortogonala) och har längden ett (normerad) kallas basen för ortonormerad. Detta är den vanligaste och mest lättarbetade basen.

Om det är uppenbart vilken basen är, skriver man ofta $𝐯=(x,y)$ istället för $𝐯=x{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+y{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$.

Baser i ${ℝ}^3$

Definition: Tre vektorer ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟑}}$ utgör en bas i ${ℝ}^3$ om de inte ligger i ett plan.

Sats

Om ${𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}$ och ${𝐞}_{\mathrm{𝟑}}$ är en bas i rummet kan varje vektor $𝐯$ entydigt skrivas

$𝐯=x{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}+y{𝐞}_{\mathrm{𝟐}}+z{𝐞}_{\mathrm{𝟑}}$

Linjära ekvationsystem

Linjära ekvationssystem är en uppsättning av ett ändligt antal linjära ekvationer med formen:

$\begin{array}{ccccc}{a}_{1}x& +& b_{1}y& =& c_1\\ a_{2}x& +& b_{2}y& =& c_2\end{array}$

Där $a_n$, $b_n$ och $c_n$ är reella eller komplexa tal.
Med $m$ ekvationer och $n$ obekanta kan man beskriva ekvationen som:

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \cdots & +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \cdots & +& a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& +& a_{m2}{x}_2& +& \cdots & +& a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

Det finns tre möjligheter:

1. Ekvationssystemet har exakt en lösning
2. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar
3. Ekvationssystemet saknar lösning

Vektorrum

Låt ett vektorrum $𝐕$ vara en godtycklig icke-tom mängd tillsammans med två operationer: vektoraddition och skalärmuliplikation

Axiom

• Vektorrummet är slutet över vektoraddition

$𝐮,𝐯\in 𝐕\Rightarrow 𝐮+𝐯\in 𝐕$

• Vektoraddition är kommutativ

$𝐮+𝐯=𝐯+𝐮$

• Vektoraddition är associativ

$(𝐮+𝐯)+𝐰=𝐮+(𝐯+𝐰)$

• Vektoraddition har ett identitetselement:$\mathrm{𝟎}$

$𝐮+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}+𝐮=𝐮$

• För varje vektor: $𝐮$ finns det en invers: $(-𝐮)$

$𝐮+(-𝐮)=\mathrm{𝟎}$

• Vektorrummet är slutet över skalärmultiplikation

$𝑘\in 𝐑,𝐮\in 𝐕\Rightarrow 𝑘𝐮\in 𝐕$

• Distributiva lagarna gäller över skalärmultiplikation

$𝑘(𝐮+𝐯)=𝑘𝐮+𝑘𝐯$

$(𝑘+𝑚)𝐮=𝑘𝐮+𝑚𝐮$

• Associativa lagarna gäller för skalärmultiplikation

$𝑘(𝑚𝐮)=(𝑘𝑚)𝐮$

• Skalärmultiplikation har ett identitetselement: $1$

$1𝐮=𝐮$