Formelsamling/Matematik/Algebra

Räknelagar

$a+b=b+a$	(kommutativa lagen under addition)
$a\cdot b=b\cdot a$	(kommutativa lagen under multiplikation)
$(a+b)+c=a+(b+c)$	(associativa lagen under addition)
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(associativa lagen under multiplikation)
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	(distributiva lagen)
$a+c=b+c\iff a=b$	(annulleringslagen under addition)
$a\cdot c=b\cdot c\iff a=bomc\ne 0$	(annulleringslagen under multiplikation)

Bråkregler

$a\cdot \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c}$	$c\ne 0$
$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$	$b\ne 0,d\ne 0$
$\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$	$b\ne 0,c\ne 0,d\ne 0$
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$	$b\ne 0,d\ne 0$

Parentesregler

$a+(-b)=a-b$

$a\cdot b=ab$

$a-(-b)=a+b$

$a\cdot (-b)=a(-b)=-ab$

$(-a)\cdot (-b)=(-a)(-b)=ab$

Algebra

Låt $a,b,c\in ℝ$ och $m,n\in \mathbb{Z}$.

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	(första kvadreringsregeln)
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$	(andra kvadreringsregeln)
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	(konjugatregeln)
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$n!=(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n)=\prod _{k=1}^{n}k$	(fakultet)
$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k=\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{a}^{n-k}{b}^k$	(binomialteoremet)
$(a_1+a_2+...+a_m{)}^n=\sum _{k_1+k_2+...+k_m=n}^{}\frac{n!}{k_1!k_2!...k_m!}{a}_1^{k_1}{a}_2^{k_2}...a_m^{k_m}$	(multinomialteoremet)

Kvadratkomplettering

$x^2+px=x^2+px+(\frac{p}{2}{)}^2-(\frac{p}{2}{)}^2=(x+\frac{p}{2}{)}^2-(\frac{p}{2}{)}^2$

Förstagradsekvationen

$ax+b=0$	$a\ne 0$
$x=-\frac{b}{a}$

Andragradsekvationen

Rötterna till andragradsekvationen på formen $x^2+px+q=0$ ges av:

$x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}och{x}_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

då gäller

$x_1+x_2=-p$

$x_1\cdot x_2=q$

Kvadratrötter

För $a\ge 0,b\ge 0,c>0$:

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$

$b\sqrt{a}=\sqrt{b^{2}a}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}}$

$\frac{a}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{c}$

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{c}}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}b}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

$\sqrt[nq]{a^{mq}}=\sqrt[n]{a^m}$

Potensregler

$1^n=1$
$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$
$a^1=a$
$a^0=1$	$a\ne 0$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$	$a\ne 0$
$a^{m/n}=(a^m{)}^{1/n}=\sqrt[n]{a^m}$	$m,n>0$
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\ne 0$
$(ab{)}^m=a^m\cdot b^m$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$	$b\ne 0$
$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}=(a^n{)}^m$

Logaritmer

För $y>0,a>0,a\ne 1$:

$y=10^x\iff x={\log }_{10}y=\lg y$

$y=a^x\iff x={\log }_{a}y$

$y=e^x\iff x=\ln y$

$\ln y=\ln 10\cdot \lg y\approx 2,3026\lg y$

$\lg y=\lg e\cdot \ln y\approx 0,4343\ln y$

Logaritmlagar

$a^{{\log }_{a}x}=x$
$\log (ab)=\log a+\log b$	$a>0ochb>0$
$\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$
${\log }_a{a}^n=n\log a$
${\log }_a\sqrt[n]{a}=\frac{1}{n}\log a$
$a^{\frac{\log b}{\log a}}=b$