Formelsamling/Matematik/Taylorutvecklingar

Åter till huvudsidan

Maclaurins formel

Antag att funktionen $f$ är en $n+1$ gånger kontinuerligt deriverbar funktion i en omgivning av $0$. Då gäller för alla $x$ i omgivningen att

$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n+\text{restterm.}$

Resttermen i högerledet kan skrivas som

$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}=O(x^{n+1})$, där talet $\theta$ beror av $n$ och $x$ och $0\le \theta \le 1$.

Taylors formel

Om vi istället vill approximera $f(x)$ i en omgivning av en punkt $x=a$ sätter vi

$g(t)=f(a+t)$

samt

$t=x-a$

och applicerar Maclaurins formel på funktionen g. Vi får då

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

där $\xi$ är en punkt mellan $a$ och $x$.

Standardutvecklingar

Dessa standardutvecklingar visas enkelt med Maclaurins formel ovan.

• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+O(x^{n+1})$

• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+O(x^{n+1})$

• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+O(x^{n+1})$

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+O(x^{n+1})$

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+O(x^{2n+1})$

• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n+2})$

• $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+O(x^{2n+1})$