Formelsamling/Matematik/Transformer

Åter till huvudsidan.

Konventioner

• Konstanter betecknas med a,b,c
• Stegfunktionen θ(t)=1 för t≥0 : θ(t)=0 annars.
• Diracpulsen δ(t) kan definieras som:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t)dt=1$ $\wedge$ $\delta (t)=0$ $\mathrm{\forall }$ $t\ne 0$

Fourier-transform

Definitioner

Om $f(t),-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty },$ är styckvis deriverbar och absolut integrerbar då: Fourier-transform: $F(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt$ Invers Fourier-transform: $f(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

Fourier-transform tabell

	$f(t),g(t)$	$F(\omega ),G(\omega )$
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$
2	$f(at),(a\in ℝ,a\ne 0)$	$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$
3	$f(-t)$	$F(-\omega )$
4	$\delta (t)$	$1$
5	$\delta (t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$
6	${\delta }^{(n)}(t)$	$(j\omega {)}^n$
7	${\delta }^{(n)}(t-T)$	$(j\omega {)}^n{e}^{-j\omega T}(n=0,1,2,...)$

z-Transform

Tabell över z-transformer

	$f(t)$	$F(z)$
1	$\delta [n]$	$1$
2	$\delta [n-n_0]$	$z^{-n_0}$
3	$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-n_0}}$
4	$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$
5	$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$

Laplace-transform

Definition

Laplacetransformen av f definieras som

$ℒ[f](s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$, för $s\in ℂ$ sådana att integralen är konvergent.

Egenskaper

Laplacetransformen konvergerar i ett område på formen $\{s\in ℂ:Re(s)>\sigma \}$, förutsatt att den konvergerar för något $s$, $\sigma >0$.

• $ℒ[\lambda f+\mu g](s)=\lambda ℒ[f](s)+\mu ℒ[g](s)$
• $ℒ[\frac{df}{dx}(x)](s)=sℒ[f](s)-f(0)$
• $ℒ[\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\tau )g(\tau )d\tau ]=ℒ[f](s)\cdot ℒ[g](s)$